REGOLA

Testo a cura del Prof. Michele Baldi

REGOLA “Ogni numero naturale può essere espresso in un solo modo come somma di diverse potenze di 2.”

Questa è una regola affascinante che sta alla base di come funzionano tutti i computer del mondo! In matematica, si chiama sistema binario.

Considera le potenze di 2:

• 2⁰ = 1

• 2¹ = 2

• 2² = 4

• 2³ = 8

• 2⁴ = 16

• 2⁵ = 32

• …e così via.

 Puoi comporre qualsiasi numero intero sommando questi valori, e c’è una sola combinazione possibile per ogni numero, a patto di non usare mai lo stesso valore più di una volta.

Ecco come puoi scrivere i primi 10 numeri come potenze di 2 (Ricorda 1 = 2⁰ )

• 1 

• 2 =2¹

• 3 = 2¹+ 1 (hai esaurito tutti i modi possibili con le prime due potenze di 2)

• 4 = 2²      (non puoi scrivere 2 + 2)

• 5 = 2² + 1 (non puoi scrivere 2 + 2 + 1)

• 6 = 2² +2¹

• 7 = 2² +2¹+ 1 (hai esaurito tutti i modi possibili con le prime tre potenze di 2)

• 8 = 2³              (ecco la nuova potenza di 2)

• 9 = 2³+ 1

• 10 =2³+2¹

………

Ci sono due punti fondamentali per spiegare il “segreto”:

1. La Regola del “Sì o No” (Presenza o Assenza)

A differenza del sistema decimale, dove puoi usare lo stesso numero più volte, ad esempio (22=10+10+1+1), con le potenze di 2 hai una regola ferrea: ogni potenza può essere usata una sola volta o non essere usata affatto.

2. La Regola della “Copertura totale”

Il motivo per cui funziona sempre è che la somma di tutte le potenze di 2 precedenti è sempre uguale alla potenza successiva meno 1.

Guarda questo esempio:

• 1+2=3 (è uguale a 2² −1)

• 1+2+4=7 (è uguale a  2³−1)

• 1+2+4+8=15 (è uguale a 2⁴−1)

Questo significa che con le potenze più piccole puoi “riempire tutti i buchi” fino ad arrivare alla potenza successiva. Non appena ti serve un numero più grande (come il 16), “accendi” la nuova potenza e ricominci a combinare quelle piccole per coprire i valori intermedi.

È come un puzzle perfetto: ogni numero ha la sua “impronta digitale” fatta di potenze di 2.

Questa magia ti permetterà di stupire i tuoi amici. Sarai in grado di indovinare un numero soltanto facendoti dire la carta (o le carte) in cui si trova!

Guarda la seguente tabella e le spiegazioni che seguono.

N.	A	B	C	D	E	F
1	1
2		2
3	1	2
4			4
5	1		4
6		2	4
7	1	2	4
8				8
9	1			8
10		2		8
11	1	2		8
12			4	8
13	1		4	8
14		2	4	8
15	1	2	4	8
16					16
17	1				16
18		2			16
19	1	2			16
20			4		16
21	1		4		16
22		2	4		16
23	1	2	4		16
24				8	16
25	1			8	16
26		2		8	16
27	1	2		8	16
28			4	8	16
29	1		4	8	16
30		2	4	8	16
31	1	2	4	8	16
32						32
33	1					32
34		2				32
35	1	2				32
36			4			32
37	1		4			32
38		2	4			32
39	1	2	4			32
40				8		32
41	1			8		32
42		2		8		32
43	1	2		8		32
44			4	8		32
45	1		4	8		32
46		2	4	8		32
47	1	2	4	8		32
48					16	32
49	1				16	32
50		2			16	32
51	1	2			16	32
52			4		16	32
53	1		4		16	32
54		2	4		16	32
55	1	2	4		16	32
56				8	16	32
57	1			8	16	32
58		2		8	16	32
59	1	2		8	16	32
60			4	8	16	32
61	1		4	8	16	32
62		2	4	8	16	32
63	1	2	4	8	16	32

Nella tabella sono stati inseriti i numeri da 1 a 63, così potrai costruire le 6 carte magiche

I numeri naturali sono disposti in questo modo (il numero 1 nella colonna A, il 2 nella colonna B, il 4 nella colonna C, l’8 nella colonna D, il 16 nella colonna E e il 32 nella colonna F), così ogni colonna inizia con una potenza di 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Esempi:

Il numero 5 sarà dato dalla somma di 1 (= 20) +4 (2²) e andrà nelle colonne A e C.

Il numero 7 sarà dato dalla somma di 1 (= 2⁰) + 2 (=2¹) + 4 (=2²)  e andrà nelle colonne A, B e C.

Il numero 17 sarà dato dalla somma di 1(= 2⁰) + 16(=2⁴) e andrà nelle colonne A e E

Il numero 38 sarà dato dalla somma di 2(=2¹) + 4(=2²) + 32(=2⁵) e andrà nelle colonne B, C  e F.

E adesso se metti insieme tutti i numeri che si trovano nella colonna A, poi tutti i numeri che si trovano nella colonna B e così via, puoi costruire le tue carte magiche.

Nella carta magica A: ci saranno i numeri 1-3-5-7-9-11-13-15…..

Nella carta magica B: 2-3-6-7-12-13-14-15…..

Nella carta magica C: 4-5-6-7-10-11-12-13…

Nella carta magica D: 8-9-10-11-12-13-14-15…..

Nella carta magica E: 16-17-18-19-20-21-22-23…

Nella carta magica F: 32-33-34-35-36-37-38-39…

       

Ogni magia ha la sua regola.Buon divertimento con la Matematica!